ポアソン方程式

ポアソン方程式の例題

(例題) 長さ $20 cm$ の両端がアースされた平行平板を考える。 平板間に均一な密度 $10^{17} m^{-3}$のイオンが分布する場合、装置中央の電位は何$V$か？ 電子はないものとする。

(解答) ポアソンの方程式 $\nabla^2 \phi = -\rho/\epsilon_0$ を用いる。

境界条件は両端で電位 $\phi=0$、装置中央で$d\phi/dx = 0$ である。

(1) イオン密度を電荷密度に変換 : $\rho = e n_i$

(2) 立式 : $$ \frac{d^2\phi}{dx^2} = - \frac{en_i}{\epsilon_0} $$

(3) 1回積分 : $$ \frac{d\phi}{dx} = - \frac{en_i}{\epsilon_0}x + A $$

境界条件より、$A=0$

(4) 2回積分 : $$ \phi = - \frac{en_i}{2\epsilon_0}x^2 + B $$

境界条件より、$$ B = \frac{en_i}{2\epsilon_0} \left(\frac{L}{2}\right)^2 $$

$$ \therefore \phi = \frac{en_i}{2\epsilon_0}\left( \left( \frac{L}{2} \right)^2 -x^2 \right) $$

装置中央の電位は

$$ \phi(x=0) = \frac{en_i}{2\epsilon_0} \left( \frac{L}{2} \right)^2 = 9 \times 10^{16} (V) $$

となる。