問題 2-1

(問題) マクスウェル方程式から連続の式を導け

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(解答)

M. EQ. は

$$ \tag{1} \nabla \times \boldsymbol{E} = - \mu_0 \frac{\partial \boldsymbol{H}}{\partial t} $$

$$ \tag{2} \nabla \times \boldsymbol{H} = \epsilon _0 \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t} + \boldsymbol{J} $$

$$ \tag{3} \epsilon_0 \nabla \cdot \boldsymbol{E} = \rho $$

$$ \tag{4} \mu_0 \nabla \cdot \boldsymbol{H} = 0 $$

式(2)より、

$$ \tag{5} \epsilon _0 \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t} = \nabla \times \boldsymbol{H} - \boldsymbol{J} $$

式(3)を時間 $t$ で微分する

$$ \frac{\partial \rho}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} (\epsilon_0 \nabla \cdot \boldsymbol{E}) = \nabla \cdot \left(\epsilon _0 \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}\right) $$

(5)を上の式に代入する

$$ \frac{\partial \rho}{\partial t} = \nabla \cdot (\nabla \times \boldsymbol{H} - \boldsymbol{J}) $$

このうち、前半の項 $\nabla \cdot \nabla \times \boldsymbol{H}$ (回転の発散)は 0 となるので、

$$ \frac{\partial \rho}{\partial t} = - \nabla \cdot \boldsymbol{{J}} $$

変形すると連続の式になる。