反応速度係数

Heの電離の反応速度係数を求める

反応速度係数とは

プラズマ中で、電子が He 原子に衝突してHe 原子を電離させる場合を考える。 (電子-原子 の衝突だが、電子-イオン、イオン-イオンなどでも考え方は同じ)

• 電子 : 電子温度 $T_e$ ($eV$)、密度 $N_e$ ($m^{-3}$)
• He原子 : 温度 $T_{\mathrm{He}}$ ($eV$)、密度 $N_{\mathrm{He}}$ ($m^{-3}$)

ここで、単位時間・体積あたりに生じる反応の回数を反応率 $S$ ($m^{-3}/s$) という。

もちろん、両者の密度が高いほど反応率は上がる ($ S \propto N_e \times N_{\mathrm{He}} $)

一方で、温度 (=エネルギー) については、反応しやすい温度と反応しにくい温度があり、温度で平均した反応のしやすさを反応速度係数 $R$ ($m^3/s$) という。

反応率は $R$ を用いて、$ S = R N_e N_{\mathrm{He}} $ となる。

$R$ は両者の相対速度と断面積(ある温度における衝突の起こりやすさ)から計算できる。

今回の場合、He原子よりも電子のほうが圧倒的に軽いため、相対速度は電子速度と近似できる。

反応速度係数 $R$ の計算方法

• 反応の断面積 $\sigma (v)$ を用意する
  • $\sigma$ の単位は $m^2$
• 電子、原子ともにマクスウェル分布に従っているとして、EEDF : $f(v)$を用意する
  • 積分値が1になるように密度で規格化しておく
  • 数 $eV$ の電子温度を仮定して計算する速度テーブルは $200 eV$ 相当までとする
• 以下の式で $R$ を計算する
  • $v$ は電子の衝突直前の速度。

$$ R = \langle \sigma v \rangle = \int^{\infty}_{0} \sigma(v) v f(v) dv $$

具体的な計算

まずは 電子衝突によるHe 原子の電離の断面積を調達してくる。

正確な値は文献を探す必要があるが、一旦次のデータを補完することとする。

$E (eV)$	$\sigma (\times 10^{-20} m^2)$
$0$	$0$
$25$	$0$
$50$	$0.25$
$75$	$0.35$
$100$	$0.35$
$200$	$0.35$

今回は $10^{-4} eV$ から $200eV$ まで $0.1eV$ ずつ合計 $2001$の速度データを用意した。

線形補完した断面積は次の通り。

次に $1eV$ から $30eV$ まで $1eV$ ずつ温度を変えてマクスウェル分布 $f(v)$ を計算し、それぞれの $f(v)$ に対して $R$ を計算する。

ソースコード

PROGRAM test
    IMPLICIT NONE
    
REAL(8) :: E(0:2000)            ! エネルギーテーブル : eV
REAL(8) :: v(0:2000)            ! 熱速度(計算用) : m/s
REAL(8) :: EEDF(0:2000)         ! EEDF : f(e)
REAL(8) :: sig(0:2000)          ! 断面積テーブル
REAL(8) :: R = 0.d0             ! 反応速度係数
REAL(8) :: q = 1.6d-19          ! 
REAL(8) :: pi = 3.14d0          ! 
REAL(8) :: Ne = 1.d0, Te = 1.d0 ! 
REAL(8) :: me = 9.1d-31         ! 
REAL(8) :: dummy                ! 
INTEGER :: i, j                 ! 


! === ENERGY ===
E(0) = 1d-4                     ! 1d-4 eV から
DO i = 1, 2000
    E(i) = E(i-1) + 0.1d0       ! 0.1 eVずつ
    v(i) = sqrt( 2.d0*E(i)*q/me )   ! 熱速度
END DO


! === SIG : 断面積の読み込み ===
OPEN( UNIT=100, FILE="sigHe.100", STATUS="OLD" )
    DO i = 0, 2000
        READ(100,*) dummy, sig(i)
    END DO
CLOSE(100)


! === MAXWELL 生成・計算 ===
DO j = 1, 30
    R = 0.d0
    DO i = 0, 2000
        EEDF(i) = pi/sqrt(2.d0)*Ne*(2.d0/(pi*Te))**1.5d0    ! ブログ参照
        EEDF(i) = EEDF(i) * sqrt(E(i))*exp(-E(i)/Te)        ! eV-Maxwell
        EEDF(i) = EEDF(i) * me * v(i) / q                   ! mps-Maxwell
        IF(i/=2000) R = R + sig(i) * v(i) * EEDF(i) * (v(i+1)-v(i))
    END DO
    WRITE(101,*) Te, R
    Te = Te + 1.d0
END DO

END PROGRAM test

コンパイル・実行

ifort test.f90
./a.out

sigHe.dat は線形補間して用意しておく。

計算結果

計算した結果は以下の通り。

例えば電子温度 $10eV$ では $R = 7.2 \times 10^{-16}$ $m^3/s $ である。

電子密度 $N_e = 10^{16} m^{-3}$、He原子の密度を $N_{\mathrm{He}} = 10^{21} m^{-3}$ とすると、

反応率 $ S = 7.2 \times 10^{21} $ $m^{-3}/s $ であり、単位時間・体積当りこの個数程度のHeイオンが生じていることになる。