マクスウェル分布

1次元速度の場合 :

$$ dn(v_x) = n \left( \frac{m}{2\pi k_B T} \right)^{1/2} \exp \left[ -\frac{mv_x^2}{2k_BT} \right] dv_x $$

3次元速度の場合 :

$$ dn(v) = 4\pi n \left( \frac{m}{2\pi k_B T} \right)^{3/2} v^2 \exp \left[ -\frac{mv^2}{2k_BT} \right] dv $$

ただし $ v^2 = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2 $

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分布関数としては :

$$ f(v_x) = n \left( \frac{m}{2\pi k_B T} \right)^{1/2} \exp \left[ -\frac{mv_x^2}{2k_BT} \right] $$

$$ f(v) = 4 \pi n \left( \frac{m}{2\pi k_B T} \right)^{3/2} v^2 \exp \left[ -\frac{mv^2}{2k_BT} \right] $$

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諸々の平均値

熱運動する粒子の速度の各成分

$$ \langle v_x \rangle = \langle v_y \rangle = \langle v_z \rangle = 0 $$

平均速度

ガウス積分の $v^3$ 公式を使う $$ \langle v \rangle = \frac{1}{n} \int_0^\infty v f(v)dv = \sqrt{ \frac{8k_BT}{\pi m} } = \sqrt{ \frac{4}{\pi} } \sqrt{ \frac{2k_BT}{m}} $$

2乗平均速度

ガウス積分の $v^4$ 公式を使う $$ \sqrt{\langle v^2 \rangle} = \frac{1}{n} \int_0^\infty v^2 f(v)dv = \sqrt{ \frac{3k_BT}{m} } = \sqrt{ \frac{3}{2} } \sqrt{ \frac{2k_BT}{m} } $$

3乗平均速度

ガウス積分の $v^5$ 公式を使う $$ \sqrt[3]{\langle v^3 \rangle} = \frac{1}{n} \int_0^\infty v^3 f(v)dv = \sqrt[3]{4\pi} \sqrt{ \frac{2k_BT}{\pi m} } $$

4乗平均速度

ガウス積分の $v^6$ 公式を使う $$ \sqrt[4]{\langle v^4 \rangle} = \frac{1}{n} \int_0^\infty v^4 f(v)dv = \sqrt[4]{ \frac{15}{4} } \sqrt{ \frac{2k_BT}{m} } $$

熱速度

$$ v_{Thermal} = v_T = \sqrt{ \frac{2k_BT}{m} } $$

1次元乱雑粒子束

x軸に垂直な面に速度$>0$が何個入ってくるか

$$ \Gamma_x = \int_0^\infty v_x dn(v_x) = \frac{1}{4}n\langle v \rangle $$

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電子の熱速度早見表

電子熱速度 $$ v_{T,electron} = \sqrt{ \frac{2k_BT}{m_e} } $$

計算式 (K) : $v_T = 5507 \times T(K)$

計算式 (eV) : $v_T = 593370 \times T(eV)$

• T = 300K のとき $v_T = 95,400$ m/sec
• T = 1000K のとき...$174,000$ m/sec
• T = 1eV のとき...$593,370$ m/sec
• T = 10eVのとき...$1,876,400$ m/sec
• T = 100eVのとき...$5,933,700$ m/sec
• T = 1keVのとき...$18,764,000$ m/sec

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付録　ガウス積分の公式

$$ \int_{-\infty}^{+\infty} \exp [ax^2] = \sqrt{ \frac{\pi}{a} } $$

$$ \int_{0}^{+\infty} x \exp [ax^2] = \frac{1}{2a} $$

$$ \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 \exp [ax^2] = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{a^3}} $$

$$ \int_{0}^{+\infty} x^3 \exp [ax^2] = \frac{1}{2a^2} $$

$$ \int_{-\infty}^{+\infty} x^4 \exp [ax^2] = \frac{3}{4} \sqrt{\frac{\pi}{a^5}} $$

$$ \int_{0}^{+\infty} x^5 \exp [ax^2] = \frac{1}{a^3} $$

$$ \int_{-\infty}^{+\infty} x^6 \exp [ax^2] = \frac{15}{8} \sqrt{\frac{\pi}{a^7}} $$